SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

43. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные

дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Использование

дифференциальных уравнений в экономической динамике.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может

быть представлено в виде y'=f(y/x)

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет

вид y ’+f(x)y=g(x)

Пример 1. Пусть y(t)-объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту

времени t. Будем полагать, что вся произведенная отраслью продукция реализуется

по некоторой фиксированной цене p, т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка.

Тогда доход к моменту t составит Y(t)=py(t).

Обозначим через I(t) величину инвестиций, направляемых на расширение

производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска

продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т.е. (1)

(l=const).

Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода,

получим , (2) где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма

инвестиций) – постоянная величина, 0<m<l.

Подставляя последнее выражение (2) для I(t) в (1), приходим к уравнению , где

k=mpl.

Полученное дифференциальное уравнение – с разделяющимися переменными. Решая его,

(3) ;; ;;

приходим к функции , где y0=y(t0).

Заметим, что уравнение (3) описывает также рост народонаселения, динамику роста

цен при постоянной инфляции.

Пример 2.

Доход Y(t), полученный к моменту времени t некоторой отраслью, является суммой

инвестиций I(t) и величины потребления C(t), т.е. (4)

Как и ранее в модели естественного роста, будем предполагать, что скорость

увеличения дохода пропорциональна величине инвестиций, т.е. (5)

Где b –коэффициент капиталоемкости прироста дохода (что равносильно (1) при

постоянной цене на продукцию p и l=l/(pb).

Рассмотрим поведение функции дохода Y(t) в зависимости от функции С(t).

Пусть С(t) представляет фиксированную часть получаемого дохода , где m-норма

инвестиций.

Тогда из (4) и (5) получаем ,Что равносильно уравнению (3) при p=const.