SHPORA.net :: PDA

Login:
регистрация

Main
FAQ

гуманитарные науки
естественные науки
математические науки
технические науки
Search:
Title: | Body:

Равномерное распределение энергии по степеням свободы. Зав-ть теплоемкости


газов от темп-ры.

Теорема о равномерном распределении кин. энергии по степеням свободы состоит в

том, что в состоянии теплового равновесия на каждую степень свободы приходится в

среднем одна и та же кин. энергия. Средняя кин. энергия, приходящаяся при

тепловом равновесии на любую степень свободы одноатомной молекулы kT/2. Т. к.

поступательное движение молекул характеризуется средней кинетической энергией,

равной 3/2kT, а поступательному движению соответствует 3 степени свободы, то в

среднем на одну степень свободы движения молекул приходится энергия kT/2, т.е.

;следовательно ;

При исследовании движения тела необходимо знать его положение относительно

выбранной системы координат. Для этого вводится понятие о степенях свободы тела.

Число независимых координат, которые полностью определяют положение тела в

пространстве, наз. числом степеней свободы тела.

















На рис. изображена модель двухатомной молекулы. Молекула может совершать пять

независимых движений: три поступательных движения вдоль осей X, Y, Z и два

вращения относительно осей X и Y.

Таким образом, одноатомная молекула имеет 3 поступательные степени свободы,

«жесткая» двухатомная молекула имеет 5 степеней (3 поступательные и 2

вращательные), а многоатомная молекула – 6 степеней свободы (3 поступательные и

3 вращательные). Если расстояние между атомами может изменяться (нежесткие

молекулы), появляются дополнительные степени свободы.

В однородном газе, молекулы которого имеют любое число степеней свободы i,

каждая молекула в среднем обладает энергией движения, равной ikT/2; i=nпост+nвр

+2nколеб, “2” т.к. на колебательную степень свободы приходится в 2 раза больше

энергии. Если молекула жесткая, то nколеб=0 и i=nпост+nвр;

Зав-ть теплоемкости газов от темп-ры

Классическая теория теплоемкости газов не может считаться вполне

удовлетворительной. Существует много примеров значительных расхождений между

теорией и экспериментом. Это объясняется тем, что классическая теория не в

состоянии полностью учесть энергию, связанную с внутренними движениями в

молекуле.

Теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы можно применить

и к тепловому движению частиц в твердом теле. Атомы, входящие в состав

кристаллической решетки, совершают колебания около положений равновесия. Энергия

этих колебаний и представляет собой внутреннюю энергию твердого тела. Каждый

атом в кристаллической решетке может колебаться в трех взаимно перпендикулярных

направлениях. Следовательно, каждый атом имеет 3 колебательные степени свободы.

При гармонических колебаниях средняя кинетическая энергия равна средней

потенциальной энергии. Поэтому в соответствии с теоремой о равномерном

распределении на каждую колебательную степень свободы приходится средняя энергия

kT, а на один атом – 3kT. Внутренняя энергия 1 моля твердого вещества равна: U =

3NАkT = 3RT;

Поэтому молярная теплоемкость вещества в твердом состоянии равна: C = 3R = 25,12

Дж/моль•К



Это соотношение называется законом Дюлонга–Пти. Для твердых тел практически не

существует различия между Cp и CV из-за ничтожно малой работы при расширении или

сжатии.

Опыт показывает, что у многих твердых тел (химических элементов) молярная

теплоемкость при обычных температурах действительно близка к 3R. Однако, при

низких температурах наблюдаются значительные расхождения между теорией и

экспериментом.

Наблюдаемая на опыте зависимость теплоемкости от температуры может быть

объяснена только на основе квантовых представлений. Считается, что внутренняя

энергия атомных систем может принимать лишь дискретные значения. Пусть газ

состоит из гармонических осцилляторов. Пусть температура газа настолько низка,

что . Средняя энергия теплового движения молекул порядка kT. Такой энергии

недостаточно, чтобы возбудить осциллятор, т.е. перевести его с нулевого уровня

на ближайший первый энергетический уровень. Возбуждение может происходить только

при столкновениях с молекулами, энергия которых значительно больше средней, но

таких молекул мало и практически все осцилляторы останутся на нижнем

энергетическом уровне. Эта картина сохранится при дальнейшем повышении

температуры газа, пока соблюдается условие . При выполнении этого условия

колебательная энергия осцилляторов практически не зависит от температуры и по

этой причине не влияет на теплоемкость газа.

При повышении температуры, когда вел-на kT становится сравнимой с hν, начинает

возбуждаться первый, а затем и более высокие колебательные уровни. Температура

Tν= hν/k наз. характеристической температурой. При T>~ Tν колебания существенно

влияют на теплоемкость двухатомного газа. При T<<Tυ происходят только нулевые

колебания, не сказывающиеся на теплоемкости. Совершенно аналогично влияет на

теплоемкость газов и вращение молекул. Энергия вращения также квантуется.